Quanto pensi di conoscere bene il mondo che ti circonda?
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Quanto conosci il mondo in cui vivi?
Tombolata natalizia
Natale. Tempo di regali, presepi, addobbi, alberi, famiglia e …tombolate! Ed è proprio della tombola che parleremo oggi. Un gioco che si presta molto bene a tanti quesiti di natura probabilistica. Ad esempio: Qual è la probabilità di mettere un numero sulla cartella già alla prima estrazione? Qual è la probabilità di fare ambo dopo due estrazioni? Qual è la probabilità di fare ambo entro le prime 10 estrazioni? E terno? Dopo quante estrazioni è più probabile fare tombola? Quante cartelle conviene comprare? È meglio prendere il tabellone o sei cartelle?
Proviamo a dare risposta ad alcuni di questi interrogativi, pur nella consapevolezza che non aumenteranno le vostre probabilità di vincita.
Cominciamo da una domanda facile facile: qual è la probabilità che alla prima estrazione esca un numero presente sulla mia cartella? Nonostante la domanda non richieda formule complicate o nozioni di calcolo combinatorio, a volte sento dire 1 su 90 . Sbagliato. Ogni cartella ha 15 numeri pertanto alla prima estrazione la probabilità che venga estratto un numero presente sulla mia cartella è di 15/90. Ovvero circa il 17%.
Si ricorda se mai ce ne fosse bisogno che una cartella della tombola è composta da 15 numeri suddivisi in tre differenti righe e che questi numeri non si ripetono all’interno della cartella stessa.
Altra domanda: qual è la probabilità che con la mia cartella faccia ambo già alla seconda estrazione? La probabilità è bassa ma non bassissima: (15/90)*(4/89) circa 0.7% ovvero una probabilità su 133.
Che poi ci sia il simpaticone di turno che grida “ambo!” già alla prima estrazione, beh quello è un altro discorso. La probabilità di trovare il simpaticone in un gruppo di N elementi ce la conserviamo come esercizio per la prossima volta.
Possiamo generalizzare la domanda in questo modo: qual è la probabilità che dopo N estrazioni la mia cartella contenga esattamente X segnalini? Dove per X si intende un numero da 0 a 15. (0 cartella ancora vuota e 15 tombola). E dove per ‘segnalini’ si intendono bucce di mandarino, fagiolini,… a seconda delle usanze locali e le preferenze personali. In formule:
Ma piuttosto che far parlarle le formule, diamo spazio al grafico:
Nota importante: con X=2 non si intende la probabilità di fare ambo, quanto piuttosto la probabilità di una cartella con esattamente due segnalini (non necessariamente sulla stessa riga). Per la cronaca, la probabilità che essendoci due segnalini sulla cartella questi si trovino sulla stessa riga (ambo)è pari a 4 su 14 (ovvero circa 28%). Allo stesso modo X=3 non significa aver fatto terno, né x=4 quaterna e né x=5 cinquina. Però X=15 equivale ad aver fatto tombola! (vedi i dati in tabella)
Ora soffermiamoci su due curve in particolare.
La curva (in rosso) che descrive la probabilità di avere una cartella vergine ad una certa estrazione decresce molto velocemente. Dopo 12 estrazioni scende sotto al 10% e dopo 22 estrazioni scende sotto all’1%. Al contrario la probabilità di fare tombola con una certa cartella (curva in verde) cresce molto lentamente all’aumentare delle estrazioni. Dopo 68 estrazioni rimane di circa l’1% mentre è del 50% alla 86-esima estrazione. Teniamo a mente il fatto che queste sono le probabilità per una determinata cartella. È chiaro che il verificarsi della tombola (da parte di un qualsiasi giocatore) nel corso di una partita dipende dal numero di cartelle in gioco. In particolare:
Ora prendiamo in considerazione Paperino e Gastone rispettivamente il papero più sfortunato e quello più fortunato sulla faccia di Paperopoli.
Paperino estrazione dopo estrazione non riesce a mettere nessun numero sulla sua cartella. Arriva alla 75 esima estrazione e la sua cartella rimane vuota! Una probabilità dello 0.000000000000002%; detto in altri termini una probabilità su 45,795,673,964,460,800 (oltre 45 biliardi). Questa è la stessa probabilità che ha Gastone di fare tombola con la sua cartella dopo appena 15 estrazioni. Il termine tecnico per definire tale probabilità è “culo esponenziale”.
Ma andiamo avanti. Abbiamo visto le percentuali esatte della tombola e di quanti numeri posso aspettarmi di aver riempito la mia cartella dopo N estrazioni ma ancora rimane da rispondere alla domanda: qual è la probabilità di fare ambo entro N estrazioni? E terno, quaterna e cinquina? Per rispondere a queste domande ho effettuato una simulazione con 10mila partite. Il grafico sottostante mostra la probabilità di fare ambo terno,… prima della N-esima estrazione (con N da due a 90).
Da questo possiamo desumere il numero medio di estrazioni che dobbiamo attendere prima che la nostra cartella si verifichi un ambo, un terno, una quaterna, una cinquina e una tombola.
| Ambo | Terno | Quaterna | Cinquina | Tombola | |
| Numero medio di estrazoni | 15 | 29 | 46 | 65 | 86 |
Queste però sono le probabilità per una singola cartella. Ma la tombola non è un solitario. Il bello del gioco è proprio quello di giocare in tanti. Maggiore è il numero dei giocatori/cartelle e prima si verificheranno le vincite.
Passiamo ad un altro domandone che assilla i tombolisti veraci: conviene prendere il tabellone o sei cartelle? Sebbene la probabilità di vincita di una determinata cartella e una del tabellone sia uguale, le sei cartelle che formano il cartellone hanno una caratteristica importante rispetto a sei cartelle prese a caso: ciascun numero compare una e una sola vota. Prendendo invece sei cartelle a caso ci saranno numeri doppi, alcuni anche tripli e numeri che non sono presenti in nessuna cartella. Questa particolarità del cartellone lo avvantaggia quando si considera la probabilità di fare tombola. Questa “supremazia” del tabellone è stata dimostrata sia teoricamente da Roberto Natalini (ricercatore del CNR – leggi articolo) che verificata da simulazioni condotte. A questo indirizzo potrete trovare un simulatore molto ben fatto, progettato da Luca Rainone che illustra visivamente questo fenomeno. Il vantaggio della cartellonista è comunque limitato 54% contro 46%.
Per ovviare a questa seppur minima supremazia del tabellone occorre procurarsi delle cartelle che godano anch’esse della caratteristica di non avere numeri ripetuti. Sembra un compito complicato ma in verità i fabbricanti di tombole ci vengono in aiuto. Ogni cartella ha un suo proprio numero progressivo. Occorrerà semplicemente prendere cartelle in serie.
Non mi resta che augurarvi buone feste e felici tombolate!
La media del pollo
La domanda “che lavoro fai?” mi ha messo sempre un po’ in imbarazzo. Non tanto perché lavoro nel mondo del porno, come tester di ascelle o degustatore di alimenti per cani, quanto piuttosto perché sono uno statistico e mi sono accorto che sul tema c’è parecchia disinformazione. La tipica discussione si svolge più o meno così:
-E tu che lavoro fai?
-Lo statistico.
-Ah, fai le statistiche! Te le raccomando quelle!
-[sine verbis]
Al che mi si presentano due strade. La prima quella tentare di spiegare il mio lavoro, la seconda –decisamente più prudente- quella di cambiare discorso. In generale, mi sono accorto che le statistiche non sono viste di buon occhio. I più avversi oppositori si rifanno sempre alla proverbiale “media del pollo” del poeta Trilussa: tra chi mangia un pollo intero e chi nulla, in media hanno mangiato mezzo pollo a testa. Breve sintesi per etichettare la statistica come falsa e ingannevole.
Il punto è che la media (aritmetica) è un indicatore statistico e come tale serve a fare una sintesi dei dati. E in virtù di questa sintesi lascia inevitabilmente qualcosa fuori.
Un fenomeno particolarmente distorto (o iniquo come ad esempio la distribuzione del reddito o la storia del pollo di Trilussa) non dovrebbe mai essere “sintetizzato” utilizzando la media aritmetica. E questo lo sanno bene gli statistici che conoscono i limiti della media aritmetica e per questo motivo non sintetizzano mai un fenomeno con un numero secco. D’altra parte questa loro consapevolezza si scontra puntualmente con la tendenza delle persone (e spesso anche dei giornalisti) a semplificare le cose. Molto più semplice dire che in Italia il reddito medio è di 29 mila e rotti euro piuttosto che raccontare come il reddito si distribuisce (in maniera iniqua). Inoltre, tutti siamo a nostro agio con il concetto di “media” mentre sono in molti quelli che arricciano il naso quando sentono parlare di “mediana” o peggio di “deviazione standard”. Brrr rabbrividiamo!
Allora il concetto che vorrei far passare è che lo sforzo deve essere da entrambe le parti: gli statistici (e in generale chi si occupa della gestione dei dati) e coloro che usufruiscono dei dati (giornalisti e utenti in generale). I primi devono impegnarsi a comunicare i dati nella maniera più semplice e comprensibile (senza cadere nei tecnicismi), i secondi devono fare lo sforzo di andare oltre il dato elementare e guardare a più di un indicatore.
Su questo blog avremo modo di parlare di indicatori statistici (ad esempio media, mediana e moda) e delle diverse tipologie di medie (aritmetica, geometrica, armonica,…). E soprattutto, sotto quali condizioni risulta opportuno utilizzarle.
E se proprio mezzo pollo deve essere, per me ala e coscia! Niente petto!
Numeri da piazza
Nuova manifestazione in piazza e nuovo giro di numeri. Sabato 14 dicembre 2019 si è svolta a piazza San Giovanni a Roma la manifestazione delle sardine. Oltre 100mila per gli organizzatori e 35mila per la questura. Siamo alle solite.
Proviamo ad attenerci ai fatti. La piazza di San Giovanni e zone limitrofe è di circa 39mila metri quadri. Fonte Google Maps (vedi foto).
Ora il punto dolente è: quante persone possono stazionare in un metro quadro? La figura qui sotto può aiutare a capire come stimare il numero.
Chiaramente le piazze non vengono mai riempite in maniera uniforme: ci saranno zone con un paio di persone al metro quadro e zone con una concentrazione maggiore. Il valore di 5 persone al metro quadro non rappresenta il limite massimo ma è comunque vicino alla soglia oltre la quale non è possibile andare. Detto questo, possiamo procedere con la “media del pollo”, lasciando al lettore il piacere di fare la propria valutazione:
| Persone al m2 | Stima per una sup. di 39mila m2 |
| 1 | 39.000 |
| 2 | 78.000 |
| 3 | 117.000 |
| 4 | 156.000 |
| 5 | 195.000 |
| 6 | 234.000 |
Numeri alla mano e occhio alle immagini della piazza, la stima degli organizzatori (oltre 100mila persone) -tutto sommato- pare più verosimile di quella della questura (35mila).
Detto questo, oggigiorno per stabilire quante persone partecipano ad un determinato evento esistono sicuramente tecniche più sofisticate e accurate. Ad esempio modelli matematici (o se preferite di intelligenza artificiale) applicati su immagini da droni o telecamere posizionate nei punti di accesso. In alternativa, anche il conteggio degli accessi ai BTS (ripetitore di segnali radio) dei gestori telefonici o il numero di transiti presso le stazioni metro potrebbero dare indicazioni preziose riguardo al livello di partecipazione di un evento. Tutto questo però minerebbe alla base l’esilarante gioco tra questura e organizzatori a chi la spara più grossa. #laguerradeinumeri
Italia un paese di litigiosi
Gli italiani hanno una innata propensione a risolvere le controversie in sede legale. La dura realtà è messa in luce -ad esempio- dal rapporto 2012-2014 della CEPEJ (vedi tabella oppure scarica il report completo). A poco contribuiscono le norme tese a promuovere i metodi alternativi di risoluzione delle controversie (in inglese ADR – Alternative Dispute Resolution).
I motivi della elevata litigiosità italiana sono di varia natura, in primis aspetti socio-culturali, la scarsa fiducia nella possibilità di affrontare pacificamente la controversia. A questo si aggiunga la complessità del tessuto normativo responsabile inoltre del proliferare di un numero spropositato di studi legali lungo tutto lo stivale.
Qui di seguito viene riportata la cartografia tratta da Indice di Litigiosità in Italia 2001-2014. L’indice di litigiosità è il rapporto tra il numero di cause civili di primo grado sopravvenute nell’anno presso i Giudici di Pace e i Tribunali Ordinari e la popolazione media residente per 1.000. In conformità con l’ultima pubblicazione de “L’italia in cifre – 2015” da parte dell’ISTAT (vedi estratto) per il calcolo dell’indice è stato considerato il totale delle cause civili di primo grado, sia contenzioso sia non contenzioso (volontaria giurisdizione). Pertanto questo indice non è da considerarsi un vero e proprio indice di litigiosità. Nonostante questo limite, l’indicatore consente di effettuare confronti sia a livello geografico sia temporale.
Giornata mondiale della statistica e 3 note fuori luogo
20 Ottobre 2015. Mentre nel resto del mondo si festeggia la Seconda Giornata mondiale della statistica, in Italia siamo impegnati nella Quinta Giornata italiana della statistica! [N.f.L. Insomma a giudicare dalla numerazione siamo avanti!]
E mentre nel resto del mondo il tema di riferimento è “Better data, Better lives“, in Italia il tema è stato declinato in “La buona statistica migliora la vita“. [N.f.L. Magari la potesse anche allungare ma per quello c’è sempre la birra.]
Data scientists in tutto il mondo dibattono sulla necessità di produrre statistiche e indicatori affidabili e tempestivi per misurare il progresso di un paese. Concordo. E concordo anche sul fatto che la statistica (in senso lato) sia uno strumento indispensabile per supportare le decisioni di governo e guidare lo sviluppo del paese. [N.f.L. Purtroppo siamo anni luce lontani da questi orizzonti, laddove la classe dirigente italiana relega la statistica a meri numeri da considerare solamente in fase elettorale.]
#statsday15
Approssimando si fa centro
Oggi molto più di ieri siamo letteralmente bombardati da informazioni e dati. Come fare per districarsi fra tutti questi numeri? Purtroppo abbiamo perso la capacità di fare di calcolo e anche quella di cogliere al volo un dato verosimile da un dato palesemente fasullo. Il più delle volte ci fidiamo incondizionatamente della fonte della notizia, nel resto dei casi ci affidiamo al nostro intuito (che come abbiamo visto in un precedente post non immune dal commettere errori).
La nostra reazione ad una notizia del tipo “in Italia 13 mld di euro di cibo finiscono nella spazzatura” sarebbe equivalente alla reazione a fronte di “in Italia 5 mld di euro di cibo finiscono nella spazzatura”. La notizia viene percepita ed elaborata dal nostro cervello (che ha la tendenza a semplificare le cose) come “in Italia c’è tanto tanto spreco di cibo” i dati numerici rappresentano informazioni accessorie poco rilevanti. Insomma che siano 13 miliardi o 5 miliardi poco o nulla importa.
Per interpretare questi numeri, spesso confusi e a volte contraddittori, bastano due semplici abilità:
- comprendere il significato dei grandi numeri
- saper fare stime approssimate e sensate basandosi soltanto su pochi fatti essenziali.
Acquisire tali abilità è alla portata di tutti e può aiutare anche in ambito lavorativo. Molte importanti multinazionali in fase di colloquio di lavoro pongono ai candidati domande del tipo “qual è il valore del mercato dei pannolini usa e getta in Italia?”. La domanda a primo acchito può sembrare ridicola ma in realtà serve a valutare sia l’intelligenza sia l’elasticità mentale del candidato.
Questo tipo di domande vengono spesso identificate come “problemi di Fermi”. Sembra infatti che il celebre fisico Enrico Fermi si divertisse a creare e risolvere quesiti di questo tipo. Cosa serve per sviluppare la capacità di saper trattare i quesiti di Fermi? Di fatto non molto: una buona dose di curiosità, saper maneggiare grandi numeri, e la conoscenza del sistema di misura di quel particolare problema (es sistema metrico decimale,…). Gli argomenti che vorrei trattare nei prossimi post sono:
- Stima diretta vs stima indiretta (media geometrica)
- La notazione scientifica
- Operazioni sui grandi numeri
- Unità di misura e conversione delle unità
Nei prossimi post cercherò di affrontare tutti questi aspetti in maniera chiara e semplice, rimanete sintonizzati.
Il “paradosso” del compleanno
Ho sempre avuto un debole per i paradossi della logica ma quello di cui vorrei parlare oggi, il celebre “paradosso” dei compleanni, in verità non è un vero paradosso in senso stretto. È piuttosto un verità matematica che contraddice l’intuizione comune. Ma vediamo meglio di cosa stiamo parlando. Provate a chiedere ad un vostro amico questa semplice domanda:
“Qual è la probabilità che in una classe di 23 studenti almeno due festeggino il compleanno lo stesso giorno?”
Sia chiaro, non cerchiamo una risposta esatta quanto piuttosto un valore indicativo:
- molto molto improbabile (<1%)
- molto improbabile (<5%)
- poco probabile (meno del 10%)
- così così (circa 50%)
- abbastanza probabile (circa 75%)
- molto probabile (>90%)
Ebbene, statene pur certi, la stragrande maggioranza dei vostri amici vi risponderà che la probabilità è molto bassa. In verità, calcoli alla mano, la reale percentuale è pari al 51%. Non ci credete? Provate allora a considerare dei casi pratici tra i colleghi del vostro ufficio, tra la cerchia delle vostre amicizie, tra i compagni di scuola di vostro figlio. Vi accorgerete che le cose stanno proprio così. La probabilità che due persone in un gruppo compiano gli anni nello stesso giorno è molto superiore a quanto il nostro intuito ci porterebbe a considerare. Qui di seguito il grafico che illustra l’andamento della probabilità al crescere del numero di persone nel gruppo.
Per chi fosse interessato alla matematica dietro a questo problema si inizia calcolando la probabilità che tutti gli studenti siano nati in giorni diversi e poi si calcola il suo complemento, in formule:
La bellezza del “paradosso del compleanno” sta nel mettere a nudo i limiti della nostra intuizione. Intuizione che spesso ci aiuta a vedere le cose con un “terzo occhio” ma che a volte incorre in questi clamorosi errori di valutazione!
Bambine più intelligenti dei maschietti?
Sempre alle prese con il rapporto del MIUR “Esiti dell’esame di Stato e degli scrutini nella scuola secondaria di I grado” (scarica pdf) mi sono imbattuto in una cosa interessante e una cosa buffa.
La cosa interessante è un grafico, la cosa buffa è una nomenclatura che viene utilizzata nel rapporto. Ma andiamo con ordine. Il grafico che mi ha dato da pensare e che ha dato il titolo al post è il seguente:
il quale mostra in maniera lampante lo schiacciante predominio femminile quando si parla di risultati scolastici (in particolare l’esame di terza media… eh volevo dire scuola secondaria di secondo grado!).
La prima considerazione è che la scala dell’asse verticale va probabilmente dal sei all’otto e dunque la differenza risulta ancora più marcata e impietosa. Proviamo dunque ad utilizzare una scala dall’1 al 10 per vedere come cambierebbe visivamente. Nel rifare il grafico, pur con una certa ritrosia, ho utilizzato gli stessi colori del MIUR (fucsia compreso). Ecco il risultato:
La sostanza non cambia ma il paragone è meno impietoso. Quello di cambiare la scala in grafici simili è una delle tecniche base di chi voglia mentire con le statistiche (particolarmente famoso a questo proposito il libro “How to lie with statistics” di Darrell Huff del 1954). In ogni caso, come dicevo, la sostanza non cambia: si evince facilmente che le bambine… sono più intelligenti dei maschietti? Certo che no! Un ricercatore serio non cadrebbe mai in questo errore. Il grafico ci dice esclusivamente che in termini di risultati all’esame di terza media le bambine “performano” meglio dei bambini. Non ci dice nulla riguardo ai MOTIVI di tali differenze. Purtroppo molto spesso mi capita di leggere articoli di giornalisti che commettono questo tipo di errori (buona o cattiva fede che sia). Più raro ma decisamente più inquietante quando a sbagliare non sono gli articolisti ma i ricercatori stessi. Quello che mi preme è che il lettore abbia gli strumenti giusti per smascherare queste corbellerie.
Ma allora come si spiegano queste differenze? Sono dovute al caso? Io direi che sono dovute piuttosto a motivi di carattere sociale. Un recente studio dell’OCSE spiega che la la differenza tra maschi e femmine in termini di performance scolastica non ha alcun motivo di ordine genetico. Semplicemente i ragazzi dedicano in media un’ora in meno a settimana agli studi rispetto alle loro coetanee.
Questo chiude il discorso attorno alla cosa interessante e veniamo alla cosa buffa del rapporto: l’uso del termine “licenziati“. In tutto il rapporto si parla di “licenziati” per definire i ragazzi che hanno superato l’esame con successo ed hanno conseguito felicemente la Licenza Media… ops scuola secondaria di secondo grado! Ho appena finito la scuola e sono già licenziato.
Gli esami delle “medie”
Oggi mi sono imbattuto in un articolo dal titolo “Terza media, un esame che può decidere la vita” (leggi articolo) che mi ha fatto pensare un poco al modo in cui i dati vengono letti e interpretati. L’articolo prende spunto da un documento pubblicato sul sito del MIUR dal titolo “Esiti dell’esame di Stato e degli scrutini nella scuola secondaria di I grado” (scarica pdf).
In particolare nell’articolo viene riportato il seguente grafico a barre:
L’articolista commenta il grafico dicendo che il voto riportato all’esame di terza media (o più propriamente “Scuola secondaria di I grado”) è fondamentale per determinare le sorti del futuro di tanti ragazzi. In soldoni chi prende nove o più finisce al liceo gli altri sono destinati a marcire tra lacrime e sudore negli istituti tecnici o peggio ancora professionali.
Quello su cui non mi trovo affatto d’accordo è il nesso di causa-effetto tra votazione d’esame e futuro che viene sotteso nell’articolo. Siamo di fronte ad un classico esempio di “correlazione spuria” di cui un giorno mi piacerebbe parlare più approfonditamente. Il voto dell’esame è solamente il risultato di una certa propensione allo studio e questa stessa propensione allo studio -o voglia di studiare- influirà sulla scelta della scuola secondaria di II grado. Di fronte a questo grafico il mio commento sarebbe senz’altro diverso rispetto a quello che leggo su skuola.net
Da un punto di vista statistico sarebbe interessante leggere lo stesso grafico non più orizzontalmente ma verticalmente, ovvero: di coloro che hanno scelto il liceo, quanti hanno preso 10 e lode all’esame di terza media? quanti 10? quanti 9? ecc. ecc. Con i soli dati della tabella di cui sopra non è possibile fare questa trasformazione. La lettura in verticale è possibile solo se si conosce anche la distribuzione dei voti d’esame, in altre parole la tabella 2:
Dalla combinazione delle due informazioni (Graf.12 e Tab.2) si può ottenere con un pochi calcoli il grafico che mi sono divertito a ricostruire e che riporto qui di seguito.
Questo grafico può raccontare una storia diversa da quella dell’articolo incriminato. Ecco la mia versione della storia: al liceo si iscrivono ragazzi che hanno preso bei voti all’esame di terza media ma anche ragazzi che non sono andati così bene. Ben il 61% dei ragazzi che si iscrivono al liceo hanno preso un voto all’esame di terza media compreso tra sei e otto.
Poi esistono anche quelli che prendono un bel voto alle medie e decidono di fare l’ITIS. Io mi ricordo di aver preso 10 all’esame di terza media e contavo di fare l’istituto tecnico indirizzo informatico. Poi per pressioni “esterne” sono finito al liceo scientifico e una laurea in statistica.
E’ vero quello che diceva Pirandello sul fatto che gli esami non finiscono mai ma è anche vero che gli esami devono essere presi per quello che sono, senza troppe ansie. Si dice che Albert Einstein venne rimandato in matematica. Non so se questo aneddoto sia vero in ogni caso mi piace credere che lo sia.