«in cifre» leggere i numeri per capire il mondo
Problemi di logica, probabilità calcolo combinatorio, geometria, strategia,…
Per chiunque voglia mettersi alla prova con i Giochi di Archimede, la prima fase delle Olimpiadi della Matematica, che si sono tenuti il primo dicembre 2022. Il seguente test è quello proposto ai ragazzi del biennio.
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Natale è alle porte e c’è già chi mette da parte un congruo ammontare di monete e bucce di mandarino per affrontare al meglio le roboanti partite a tombola in programma per le prossime settimane. Tombolate che si prospettano decisamente più agguerrite dei Mondiali di calcio in Qatar. Oggi come al solito parliamo di numeri, più in particolare di probabilità. Probabilità legate al gioco della tombola.
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Ieri lunedì 16 novembre 2020 si sono tenuti online i Giochi d’Autunno 2020. Si tratta della versione autunnale dei giochi di matematica tenuti dall’Università Bocconi. Qui di seguito trovate le 8 domande sottoposte ai ragazzi di terza media/primo superiore per chi volesse cimentarsi nell’impresa! Il tempo a disposizione dei ragazzi è stato di 90 minuti. Alla fine del quiz potrete vedere il vostro risultato (massimo 84 punti).
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Visto che siamo in tema e in questi giorni non si fa altro che discutere di coronavirus, parliamo di contagi. Facciamolo però con un gioco matematico. Immaginate di avere una classe composta di 25 alunni disposti a quadrato come nello schema seguente:
Un giorno alcuni di questi alunni (quelli in rosso) rimangono infetti da un virus.
Bene, adesso inizia la fase del contagio. Ogni giorno il virus si propaga secondo queste due regole:
Da notare che per “sedere accanto” si intende avanti, dietro, a destra o a sinistra ma NON in diagonale. Per cui i bambini seduti accanto al bambino in giallo (vedi sotto) sono solo quelli con la lettera A e non quelli seduti in diagonale.
Vediamo allora come si propaga il virus nel tempo in base alla configurazione di partenza.
Nella figura sono evidenziati con una x i nuovi contagiati di quel giorno. Come si può vedere dopo 5 giorni l’intera classe risulterà contagiata. A questo punto, capita la dinamica del gioco, la domanda è la seguente:
È possibile iniziare con 5 bambini infetti e contagiare l’intera classe?
E se sì, dove devono essere seduti questi bambini?
I più bravi vorranno cimentarsi con qualcosa di decisamente più difficile:
È possibile iniziare con 4 bambini infetti e contagiare l’intera classe?
E se sì, dove devono essere seduti questi bambini?
Buona soluzione!
Peter Wason (1924-2003) è stato uno psicologo inglese, pioniere in quella che prende il nome di psicologia del ragionamento. Il suo interesse era quello di investigare i motivi per cui le persone commettono frequenti errori nel ragionamento logico. A questo scopo ha progettato diversi problemi per dimostrare questi processi cognitivi. Oggi vi propongo quello che viene chiamato il problema delle 4 carte.
Supponiamo di avere 4 carte, tutte con la caratteristica di avere da un lato una lettera e dall’altra un numero:
Nel 1966 Wason ideò i seguenti due problemi:
Quesito 1: Quali carte si devono girare per verificare la validità di questa regola: “Se una carta ha una A su un lato, allora sull’altro lato ha un 6”?
Quesito 2: Quali carte si devono girare per verificare la validità di questa regola: “Se una carta ha un 6 su un lato, allora sull’altro lato ha una A”?
Provate a rispondere a questi due quesiti attraverso il modulo qui sotto. le Le risposte corrette saranno visibili dopo l’invio del modulo.
Si sa, i conti non tornano mai. Sarà dovuto forse alla nostra bassa capacità di far di calcolo o magari il motivo è da ricercarsi nella natura intrinseca dei calcoli: quella dannata tendenza tutta loro a non voler tornare.
Ripenso alle mille occasioni in cui ho assistito a pietose discussioni tra commensali all’arrivo del conto al ristorante.
– Facciamo alla romana?
– Ognuno paga quello che ha preso?
– Dai, i bambini non pagano.
– Maria ha preso solo un contorno.
– I ragazzi però hanno preso la birra.
Il più volenteroso (il più ingenuo) del gruppo prende il toro per le corna, si fa prestare una penna, un tovagliolo di carta mezzo pulito e comincia a raccogliere i soldi.
– Allora, vediamo… tu hai preso una birra, una pizza,…
– Ok questo è il resto ti devo ancora 1 euro
– Come dici? Il primo era solo mezza porzione?
– Guarda non ho più resto se aspetti dopo te lo do.
Alla fine, dopo mezzo litro di sudore, stremato, chiede l’aiuto del pubblico (classico esempio di “calcolo parallelo”). Passano i minuti, i quarti d’ora a volte anche le mezzore e nel frattempo la tensione sale. Ho visto amicizie storiche sciogliersi al caldo come mozzarella sulla pizza.
Eppure a volte è così semplice! Mettete tre amici in pizzeria. A fine serata il cameriere porta il conto di 30 euro. Facile facile: 10 euro a testa! Tutto troppo facile. Tanto che il dio-dei-conti-che-non-tornano-mai viene in apparizione alla cassiera che accorge di un suo sbaglio e restituisce ai commensali 5 euro. Questi decidono di prendersi un euro ciascuno e lasciare 2 euro di mancia al cameriere. Tutti felici e contenti.
In conclusione: ognuno ha pagato 9 euro per un totale di 27 euro. Più 2 euro al cameriere fanno 29. Dove è finito un euro?
Dannati conti (contesse escluse)!
Tutti i giochi da tavola, come del resto i giochi di carte, hanno due componenti fondamentali: la strategia e la fortuna. Prendete il classico Risiko! ad esempio. Per vincere occorre una buona strategia ma anche la fortuna gioca un ruolo molto importante. Esiste però oggi un gioco che ha come tema proprio la natura stessa del gioco, la sua parte stocastica. Per dirla semplicemente: un gioco dedicato al mondo delle probabilità! Il gioco si chiama Borel. Mai nome più adatto. Il gioco infatti prende il nome da Emil Borel matematico e politico francese che negli anni ’20 era occupato nello studio di quella che lui stesso definì “teoria dei giochi”1.
Ma come si gioca a Borel? I giocatori devono scommettere sull’esito di una serie di esperimenti probabilistici da condurre attraverso l’utilizzo di dati, bussolotti e palline. Borel è un gioco semplice da giocare ma difficile da padroneggiare. Non è necessario alcun background matematico e chiunque può giocare e divertirsi testando i propri poteri di predizione!
Ai giocatori viene chiesto di fare delle puntate su dei quesiti di natura probabilistica; fare l’esperimento; controllare il risultato. Le puntate dovranno ovviamente essere proporzionate alla probabilità di vincere. I giocatori dovranno comunque considerare il fatto che un evento poco probabile non vuol dire che non si verifichi. Allo stesso modo solo perché la probabilità di un evento è superiore al 70%, non rende sicuro presumere che accada. Ogni giocatore deciderà dunque quali rischi prendersi.
L’idea di base che ha guidato i creatori del gioco (tra cui uno statistico) è che la mente umana ha grosse difficoltà nel ragionare in termini probabilistici (vedi ad esempio il paradosso del compleanno). Borel gioca proprio su questo aspetto. In altre parole, Borel mette insieme la difficoltà della mente umana ad affrontare i dilemmi probabilistici con la strategia del gioco d’azzardo. È progettato per premiare il ragionamento probabilistico, sviluppando l’intuizione e il pensiero strategico!
Per chi fosse interessato, questo è il SITO del gioco. Borel è per ora disponibile solo in lingua inglese ma è comunque disponibile su amazon.it a questo link.
Sì il gioco può sembrare un po’ da nerd e forse lo è davvero!
Note
1 La teoria dei giochi è una disciplina della matematica applicata che studia e analizza le decisioni individuali di un soggetto in situazioni di conflitto o interazione strategica con altri soggetti rivali (due o più) finalizzate al massimo guadagno di ciascun soggetto
Oggigiorno l’intelligenza artificiale è sulla bocca di tutti. Non passa giorno che non spunti un qualche articolo su questo tema. Spesso purtroppo si confondono temi e concetti: intelligenza artificiale, big data, reti neurali, machine learning,… Insomma tutte parole in gran voga ma c’è ben poca chiarezza in giro. Poche idee e confuse.
Quasi a voler trovare soluzione a queste considerazioni, l’Università di Helsinki (Finlandia) ha da poco lanciato un corso online gratuito aperto a tutti i cittadini europei. Al momento gli iscritti sono circa 270 mila. Il corso non è ancora disponibile in italiano (lo sarà a breve) ma lo è in inglese e in altre lingue:
Ora provate a rispondere a queste tre semplici domande:
Se la risposta è SÌ ad almeno una di queste, potresti pensare di iscriverti al corso. La durata è di solo 6 settimane e questi sono gli argomenti:
Per chi volesse provare il corso online, questo il sito del progetto ELEMENTS OF AI:
L’obiettivo del progetto è quello di “educare l’1% dei cittadini europei alle basi dell’IA”. Il corso ha carattere divulgativo e pertanto alla portata di tutti. In futuro sulla stessa piattaforma saranno disponibili anche altri corsi più tecnici pensati per un target con conoscenze specifiche.
Ma tornando alla domanda “che cos’è l’intelligenza artificiale“, provate a rispondere a questo brevissimo quiz…
Quanto pensi di conoscere bene il mondo che ti circonda?
Scoprilo con questo semplice quiz!
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