Calcoli – infigures

23/12/202219/02/2024

Babbo Natale e la velocità media

Babbo Natale parte per il suo viaggio in giro per il mondo e la prima metà del tragitto la fa a 800 km/h. Purtroppo, esattamente a metà del tragitto, per un problema alla slitta, è costretto a ridurre la velocità a 200 km/h. Ora la domanda che ci si pone è la seguente: a che velocità media ha recapitato i regali Babbo Natale quest’anno?

La tentazione di fare 800 + 200 e dividere per due è tanta lo so ma 500km/h non è la soluzione corretta. In questo caso non è possibile utilizzare la media (aritmetica) per risolvere il problema.

Di fatto esistono misure che possono essere sommate tra loro e altre che non possono essere sommate. Cerco di chiarirmi con un esempio. Lo spazio può essere sommato; ad esempio sommando due tratti di strada rispettivamente di 5km e 7km otteniamo una distanza complessiva di 12km. Lo stesso dicasi per il tempo; se ho due attività durano rispettivamente 5 ore e 2 ore, possiamo dire che il tempo totale è pari a 7ore. Per la velocità è diverso. Fare la somma di 80 km/h + 20 km/h non ha senso, non si capisce cosa stia a significare il risultato. [Per la verità ci possono essere contesti in cui può aver senso sommare due velocità ma non è questo il caso]. Se allora non è possibile fare la somma, non è neanche possibile calcolare la media aritmetica alla cui base c’è appunto il concetto di somma. E allora? Come si risolve allora il problema?

Una soluzione è quella di considerare la relazione che lega le tre grandezze in questione

S = V x T

ovvero “spazio uguale a velocità per il tempo”. Possiamo calcolare lo spazio total, il tempo totale e poi calcolare la velocità media con V=S/T. Supponiamo ad esempio che il percorso totale di Babbo Natale sia stato di 2.000km. Per i primi 1.000km è andato a 800km/h impiegando dunque

$T= \frac{S}{V} = \frac{1000\;km}{800\;km/h} =1.25h= 75min = 1h\;e\;15m$

Il secondo tratto di 1.000km è andato a 200km/h impiegando dunque

$T= \frac{S}{V} = \frac{1000\;km}{200\;km/h} = 5h$

In totale, Babbo Natale ha dunque percorso 2.000km in 6 ore e un quarto. Si può allora calcolare facilmente la velocità media

$V= \frac{S}{T} = \frac{2000\;km}{6h\; e\; 15m} = \frac{2000 km}{6.25h} = 320\;km/h$

In alternativa a questo procedimento è possibile calcolare quella che viene chiamata media armonica.

$m_a= \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i}}}$

Dove nel nostro caso $n=2$ e le $x_i$ rappresentano le velocità, pertanto:

$m_a= \frac{2}{\frac{1}{200}+\frac{1}{800}} =320$

Nel caso in cui i tratti percorsi abbiano lunghezze diverse la formula può essere generalizzata così:

$m_a= \frac{\sum{n_i}}{\sum{\frac{n_i}{x_i}}}$

Dove le $n_i$ rappresentano la lunghezza dei singoli tratti di strata e le $x_i$ le relative velocità. E con questo, Babbo Natale si augura che il concetto di media armonica sia un po’ più chiaro per tutti i bambini del mondo. E anche per certi loro genitori!

01/02/202119/02/2024

La magia del numero 7

Oggi parliamo degli ultimi, dei dimenticati. Parliamo dei criteri di divisibilità, in particolare parliamo del criterio di divisibilità dimenticato da tutti: il criterio di divisibilità per sette.

18/11/202019/02/2024

Discalculia

La discalculia pare essere un fenomeno in aumento tra i nostri ragazzi a giudicare dal titolo di questo articolo pubblicato sul Corriere della Sera il 14 novembre. Ma qualche problema con i calcoli pare avercelo anche l’autrice dell’articolo.

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11/11/202019/02/2024

Tanto o poco?

Occorre prestare sempre molta attenzione ai numeri “nudi e crudi” ovvero quelli presentati senza alcun contesto. Un esempio? “Il debito pubblico in Italia ammonta a 2.409 miliardi di euro”. La domanda sorge spontanea: è tanto o è poco?

21/02/202019/02/2024

Contare è un gioco da bambini

Contare sulle dita di una mano è un’attività semplicissima che i bambini apprendono fin dai primi anni di età. Solitamente però ci limitiamo a contare fino a 5 quando invece possiamo fare molto di più. Esiste infatti un modo più efficace che permette di arrivare a contare fino a 10 con una sola mano e fino a 100 con due mani (una mano per le unità e una per le decine). Il metodo è descritto nell’immagine qui sotto.

In questo metodo il pollice vale un +5 rispetto alle dita che sono alzate. Per esempio avere alzati indice, medio e pollice, non sta a indicare 3 (3 dita) ma piuttosto 7 (2+5). Immaginate quanto molto più interessanti sarebbero le partite di “morra” con questo sistema.

Questo metodo è alla base del funzionamento dell’abaco cinese (suanpan) e l’abaco giapponese (soroban).

Uno strumento potentissimo per calcolare addizioni e sottrazioni e i più esperti anche moltiplicazioni e divisioni. Se non avete mai visto all’opera ecco un esempio:

E con un po’ di esercizio è possibile simulare queste operazioni a mente:

Il funzionamento dell’abaco cinese/giapponese si basa sul sistema numerico a base 5 (ovvero il sistema numerico che prevede come cifre possibili solo 0, 1, 2, 3 e 4). Tornando ai nostri conti con le dita della mano, in verità potremmo riuscire a contare fino a 32 utilizzando un sistema numerico binario (quello utilizzato dal PC dove le uniche cifre disponibili sono 0 e 1).

In questo caso, a ogni dito viene associato un numero (una potenza del 2) e il numero risultante è la somma delle dita alzate. A differenza del primo metodo proposto questo è sicuramente meno pratico.

17/12/201919/02/2024

Numeri da piazza

Nuova manifestazione in piazza e nuovo giro di numeri. Sabato 14 dicembre 2019 si è svolta a piazza San Giovanni a Roma la manifestazione delle sardine. Oltre 100mila per gli organizzatori e 35mila per la questura. Siamo alle solite.

Proviamo ad attenerci ai fatti. La piazza di San Giovanni e zone limitrofe è di circa 39mila metri quadri. Fonte Google Maps (vedi foto).

Ora il punto dolente è: quante persone possono stazionare in un metro quadro? La figura qui sotto può aiutare a capire come stimare il numero.

Chiaramente le piazze non vengono mai riempite in maniera uniforme: ci saranno zone con un paio di persone al metro quadro e zone con una concentrazione maggiore. Il valore di 5 persone al metro quadro non rappresenta il limite massimo ma è comunque vicino alla soglia oltre la quale non è possibile andare. Detto questo, possiamo procedere con la “media del pollo”, lasciando al lettore il piacere di fare la propria valutazione:

Persone al m²	Stima per una sup. di 39mila m²
1	39.000
2	78.000
3	117.000
4	156.000
5	195.000
6	234.000

Numeri alla mano e occhio alle immagini della piazza, la stima degli organizzatori (oltre 100mila persone) -tutto sommato- pare più verosimile di quella della questura (35mila).

Detto questo, oggigiorno per stabilire quante persone partecipano ad un determinato evento esistono sicuramente tecniche più sofisticate e accurate. Ad esempio modelli matematici (o se preferite di intelligenza artificiale) applicati su immagini da droni o telecamere posizionate nei punti di accesso. In alternativa, anche il conteggio degli accessi ai BTS (ripetitore di segnali radio) dei gestori telefonici o il numero di transiti presso le stazioni metro potrebbero dare indicazioni preziose riguardo al livello di partecipazione di un evento. Tutto questo però minerebbe alla base l’esilarante gioco tra questura e organizzatori a chi la spara più grossa. #laguerradeinumeri

16/10/201519/02/2024

Approssimando si fa centro

Oggi molto più di ieri siamo letteralmente bombardati da informazioni e dati. Come fare per districarsi fra tutti questi numeri? Purtroppo abbiamo perso la capacità di fare di calcolo e anche quella di cogliere al volo un dato verosimile da un dato palesemente fasullo. Il più delle volte ci fidiamo incondizionatamente della fonte della notizia, nel resto dei casi ci affidiamo al nostro intuito (che come abbiamo visto in un precedente post non immune dal commettere errori).

La nostra reazione ad una notizia del tipo “in Italia 13 mld di euro di cibo finiscono nella spazzatura” sarebbe equivalente alla reazione a fronte di “in Italia 5 mld di euro di cibo finiscono nella spazzatura”. La notizia viene percepita ed elaborata dal nostro cervello (che ha la tendenza a semplificare le cose) come “in Italia c’è tanto tanto spreco di cibo” i dati numerici rappresentano informazioni accessorie poco rilevanti. Insomma che siano 13 miliardi o 5 miliardi poco o nulla importa.

Per interpretare questi numeri, spesso confusi e a volte contraddittori, bastano due semplici abilità:

comprendere il significato dei grandi numeri
saper fare stime approssimate e sensate basandosi soltanto su pochi fatti essenziali.

Acquisire tali abilità è alla portata di tutti e può aiutare anche in ambito lavorativo. Molte importanti multinazionali in fase di colloquio di lavoro pongono ai candidati domande del tipo “qual è il valore del mercato dei pannolini usa e getta in Italia?”. La domanda a primo acchito può sembrare ridicola ma in realtà serve a valutare sia l’intelligenza sia l’elasticità mentale del candidato.

Questo tipo di domande vengono spesso identificate come “problemi di Fermi”. Sembra infatti che il celebre fisico Enrico Fermi si divertisse a creare e risolvere quesiti di questo tipo. Cosa serve per sviluppare la capacità di saper trattare i quesiti di Fermi? Di fatto non molto: una buona dose di curiosità, saper maneggiare grandi numeri, e la conoscenza del sistema di misura di quel particolare problema (es sistema metrico decimale,…). Gli argomenti che vorrei trattare nei prossimi post sono:

Stima diretta vs stima indiretta (media geometrica)
La notazione scientifica
Operazioni sui grandi numeri
Unità di misura e conversione delle unità

Nei prossimi post cercherò di affrontare tutti questi aspetti in maniera chiara e semplice, rimanete sintonizzati.