Babbo Natale e la velocità media

Babbo Natale parte per il suo viaggio in giro per il mondo e la prima metà del tragitto la fa a 800 km/h. Purtroppo, esattamente a metà del tragitto, per un problema alla slitta, è costretto a ridurre la velocità a 200 km/h. Ora la domanda che ci si pone è la seguente: a che velocità media ha recapitato i regali Babbo Natale quest’anno?

La tentazione di fare 800 + 200 e dividere per due è tanta lo so ma 500km/h non è la soluzione corretta. In questo caso non è possibile utilizzare la media (aritmetica) per risolvere il problema.

Di fatto esistono misure che possono essere sommate tra loro e altre che non possono essere sommate. Cerco di chiarirmi con un esempio. Lo spazio può essere sommato; ad esempio sommando due tratti di strada rispettivamente di 5km e 7km otteniamo una distanza complessiva di 12km. Lo stesso dicasi per il tempo; se ho due attività durano rispettivamente 5 ore e 2 ore, possiamo dire che il tempo totale è pari a 7ore. Per la velocità è diverso. Fare la somma di 80 km/h + 20 km/h non ha senso, non si capisce cosa stia a significare il risultato. [Per la verità ci possono essere contesti in cui può aver senso sommare due velocità ma non è questo il caso]. Se allora non è possibile fare la somma, non è neanche possibile calcolare la media aritmetica alla cui base c’è appunto il concetto di somma. E allora? Come si risolve allora il problema?

Una soluzione è quella di considerare la relazione che lega le tre grandezze in questione

S = V x T

ovvero “spazio uguale a velocità per il tempo”. Possiamo calcolare lo spazio total, il tempo totale e poi calcolare la velocità media con V=S/T. Supponiamo ad esempio che il percorso totale di Babbo Natale sia stato di 2.000km. Per i primi 1.000km è andato a 800km/h impiegando dunque

$T= \frac{S}{V} = \frac{1000\;km}{800\;km/h} =1.25h= 75min = 1h\;e\;15m$

Il secondo tratto di 1.000km è andato a 200km/h impiegando dunque

$T= \frac{S}{V} = \frac{1000\;km}{200\;km/h} = 5h$

In totale, Babbo Natale ha dunque percorso 2.000km in 6 ore e un quarto. Si può allora calcolare facilmente la velocità media

$V= \frac{S}{T} = \frac{2000\;km}{6h\; e\; 15m} = \frac{2000 km}{6.25h} = 320\;km/h$

In alternativa a questo procedimento è possibile calcolare quella che viene chiamata media armonica.

$m_a= \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i}}}$

Dove nel nostro caso $n=2$ e le $x_i$ rappresentano le velocità, pertanto:

$m_a= \frac{2}{\frac{1}{200}+\frac{1}{800}} =320$

Nel caso in cui i tratti percorsi abbiano lunghezze diverse la formula può essere generalizzata così:

$m_a= \frac{\sum{n_i}}{\sum{\frac{n_i}{x_i}}}$

Dove le $n_i$ rappresentano la lunghezza dei singoli tratti di strata e le $x_i$ le relative velocità. E con questo, Babbo Natale si augura che il concetto di media armonica sia un po’ più chiaro per tutti i bambini del mondo. E anche per certi loro genitori!

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