Sei un appassionato collezionista di ovetti Kinder? Ti sei mai chiesto quanti ovetti potresti dover acquistare prima di completare la collezione delle sorprese? In questo articolo, esploreremo la questione dal punto di vista probabilistico in modo da calcolare il numero medio di ovetti necessari per finire la collezione.
Le sorprese Kinder sono divise in collezioni, ognuna con il suo tema, si va dai Minions a Frozen. Ogni periodo dell’anno è caratterizzato dalla sua particolare collezione. Tuttavia, come tutti i bambini hanno imparato a scoprire a proprie spese, non tutti gli ovetti contengono una sorpresa della collezione: solo uno ogni tre! Bene, ora facciamo qualche conto supponendo di essere alla disperata ricerca di finire la collezione di Frozen.
La collezione di Frozen è composta da 8 personaggi. Anzitutto ci domandiamo: quanti ovetti mi aspetto di dover comprare per ottenere tutte e 8 le soprese della collezione di Frozen? Questo è il classico esempio del problema del collezionista. Tralasciando questioni troppo tecniche legate al calcolo delle probabilità, il numero medio di ovetti che ci si aspetta di dover comprare è calcolabile tramite questa semplice formula:
![\[ N = 3 * 8 * ( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{8} ) \approxeq 65\]](https://www.infigures.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66dd1b532b9e2221d9cd291b7a0db3a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Chiaramente questo rappresenta solamente un numero medio, una sintesi estrema. In altre parole, non ho alcuna certezza di finire la collezione con 65 ovetti. Di fatto, ci saranno persone che finiscono la collezione con una decina di ovetti (non è il mio caso!) e altri che pur avendone comprati 100 non l’hanno ancora finita.
A ben vedere dunque, ogni persona finisce la collezione entro un certo numero di ovetti in base alla propria fortuna o sfortuna (agli statistici piace chiamarlo caso ma non sappiamo essere semplicemente questione di sfiga!).
Da un punto di vista probabilistico, ad ogni numero di ovetti comprati è possibile associare una probabilità di aver finito la collezione. Ad esempio è possibile calcolare la probabilità di finire la collezione avendo comprato esattamente 50 ovetti, oppure la probabilità di averne comprati esattamente 90. Calcolare la probabilità per ciascuno di questi valori vuol dire aver costruito quella che viene chiamata la curva di distribuzione della nostra variabile aleatoria. Per studiare questa distribuzione, abbiamo condotto una simulazione di 100mila casi e questi sono i risultati:
Clicca qui per allargare il grafico.
Ogni barra blu rappresenta la probabilità di finire la collezione avendo comprato un determinato numero di ovetti. La curva in arancione invece rappresenta la probabilità di completare la collezione entro un certo numero di ovetti (viene chiamata cumulata). Ad esempio la probabilità di finire la collezione entro 100 ovetti è di circa il 90%. In altre parole comprare 100 ovetti non mi mette al riparo da quel 10% di sfiga sempre lì pronto ad attendermi.
Per i più appassionati:
Se sei un appassionato collezionista di ovetti Kinder, condividi la tua esperienza nei commenti! Quanti ovetti hai dovuto acquistare per completare la tua collezione?
Per i più nerd:
Il grafico è stato costruito in R utilizzando le librerie ggplot2 e plotly. Se sei interessato ai dettagli tecnici e vuoi esplorare il codice dietro questa visualizzazione, non esitare a chiedere!